人工智能在研究生《随机过程》课程教学中的应用与实践
摘要：随机过程在数学、物理学、工程学、经济学以及其他多个学科领域中都具有极其重要的地位。它是描述随时间或空间变化的随机现象的数学工具，通过定义在某种概率空间上的随机变量族来刻画这些现象。维纳过程作为随机过程中重要的一部分在数学中同样具有非常重要的地位。它在随机信号分析、经济学和信号处理、图像处理领域的研究中是不可或缺的。在应用数学中，维纳过程可以描述高斯白噪声的积分形式。在电子工程中，维纳过程是建立噪音的数学模型的重要部分，电子元器件在恒温下的热噪声也是一种维纳过程。控制论中，维纳过程可以用来表示不可知因素。近年来，人工智能（AI）不仅改变了人们的生活方式，还对社会、经济、科技等领域产生了深远的影响。将人工智能应用到随机过程教学中，可以产生深远的影响。针对随机过程中维纳过程的特点，本案例通过追根溯源，将维纳过程的来龙去脉，研究过程及其定义和特点进行详细分析，同时采用建模的方法设计了一个维纳过程演示的小程序，通过程序演示更直观地观察了离散型维纳过程的演示过程和结果，通过对不同参数的设置，更加直观地了解维纳过程的过程及特点，加深对维纳过程理论知识和概念的掌握，同时对维纳过程的规律有了进一步深入的理解；进一步通过matlab编程，将维纳过程通过计算机仿真，便于在信号处理时能更好地分析和模拟维纳过程。最后，案例通过列举维纳过程在股票价格和图像信号处理中的应用，使得将纯理论的知识应用到实践中，更加深刻感受到知识来源于生活，应用于生活，理论来源于实际，应用于实际的道理。
关键词：布朗运动；维纳过程；人工智能；数学建模；仿真，应用
1.引言
维纳过程（Wiener process）作为一种具有连续时间参数和连续状态空间的基本随机过程，其理论不仅在概率论与随机过程学科中占有相当重要的地位，而且是刻画金融资产价格随时间演变过程的重要数学工具，在金融领域有着广泛的应用。1827年，英国植物学家Brown利用显微镜观察察漂浮在平静的液面上的微小粒子时，发现微粒在不停地做无规则运动，这种现象后来就被称为布朗运动。Einstein在1905年首先使用统计方法对布朗运动进行了定量研究，通过可测量物理量来研究布朗运动的宏观统计特性，建立了布朗运动的物理模型。1923年，美国数学家Wiener将Einstein的布朗运动物理模型抽象为一个纯粹的随机过程数学模型，因此,布朗运动也被称为维纳过程，维纳过程是布朗运动的数学模型。
布朗的发现是一个新奇的现象，它的原因是什么？人们是迷惑不解的。在布朗之后，这一问题一再被提出，为此有许多学者进行过长期的研究。一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起的。最早隐约指向合理解释的是维纳（1826——1896），1863年他提出布朗运动起源于分子的振动，他还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。不过他的分子模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是振动。
在维纳之后，S·埃克斯纳也测定了微粒的移动速度。他提出布朗运动是由于微观范围的流动造成的，他没有说明这种流动的根源，但他看到在加热和光照使液体粘度降低时，微粒的运动加剧了。就这样，维纳和S·埃克斯纳都把布朗运动归结为物系自身的性质。这一时期还有康托尼，他试图在热力理论的基础上解释布朗运动，认为微粒可以看成是巨大分子，它们与液体介质处于热平衡，它们与液体的相对运动起源于渗透作用和它们与周围液体之间的相互作用。
到了70——80年代，一些学者明确地把布朗运动归结为液体分子撞击微粒的结果，这些学者有卡蓬内尔、德尔索和梯瑞昂，还有耐格里。植物学家耐格里(1879)从真菌、细菌等通过空气传播的现象，认为这些微粒即使在静止的空气中也可以不沉。联系到物理学中气体分子以很高速度向各方向运动的结论，他推测在阳光下看到的飞舞的尘埃是气体分子从各方向撞击的结果。他说：“这些微小尘埃就象弹性球一样被掷来掷去，结果如同分子本身一样能保持长久的悬浮。”不过耐格里又放弃了这一可能达到正确解释的途径，他计算了单个气体分子和尘埃微粒发生弹性碰撞时微粒的速度，结果要比实际观察到的小许多数量级，于是他认为由于气体分子运动的无规则性，它们共同作用的结果不能使微粒达到观察速度值，而在液体中则由于介质和微粒的摩擦阻力和分子间的粘附力，分子运动的设想不能成为合适的解释。
1874——1880年间，卡蓬内尔、德耳索和梯瑞昂的工作解决了耐格里遇到的难题。这里的关键是他们认为由于分子运动的无规则性和分子速度有一分布，在液体或气体中的微观尺度上存在密度和压力的涨落。这种涨落在宏观尺度上抵消掉了。但是如果压方面足够微小，这种不均匀性就不能抵消，液体中的相应的扰动就能表现出来。因此悬浮在液体中的微粒只要足够小，就会不停地振荡下去。卡蓬内尔明确地指出唯一影响此效应的因素是微粒的大小，不过他把这种运动主要看成振荡，而德耳索根据克劳修斯把分子运动归结为平动和转动的观点，认为微粒的运动是无规则位移，这是德耳索的主要贡献。
此后，古伊在1888——1895年期间对布朗运动进行过大量的实验观察。古伊对分子行为的描述并不比卡蓬内尔等人高明，他也没有弄清涨落的见解。不过他的特别之处是他强调的不是对布朗运动的物理解释，而是把布朗运动作为探究分子运动性质的一个工具。他说：“布朗运动表明，并不是分子的运动，而是从分子运动导出的一些结果能向我们提供直接的和可见的证据，说明对热本质假设的正确性。按照这样的观点，这一现象的研究承担了对分子物理学的重要作用。”古伊的文献产生过重要的影响，所以后来贝兰把布朗运动正确解释的来源归功于古伊。
到了1900年，F·埃克斯纳完成了布朗运动前期研究的最后工作。他用了许多悬浊液进行了和他的父亲S·埃克斯纳30年前作过的同类研究。他测定了微粒在1min内的位移，与前人一样，证实了微粒的速度随粒度增大而降低，随温度升高而增加。他清楚地认识到微粒作为巨大分子加入了液体分子的热运动，指出从这一观点出发“就可以得出微粒的动能和温度之间的关系。”他说：“这种可见的运动及其测定值对我们清楚了解液体内部的运动会有进一步的价值”。
以上是1900年前对布朗运动研究的基本情况。自然，这些研究与分子运动论的建立是密切相关的。由麦克斯威和玻尔兹曼在60——70年代建立的气体分子运动论在概念上的一个重大发展是抛弃了对单个分子进行详细跟踪的方法，而代之以对大量分子的统计处理，这为弄清布朗运动的根源打下了基础。与布朗运动的研究有密切关系的还有在60年代由格雷哈姆建立的胶体科学。所谓胶体是由粒度介于宏观粒子和微观分子之间的微粒形成的分散体系，布朗运动正是胶体粒子在液体介质中表现的运动。
对于布朗运动的研究，1900年是个重要的分界线。至此，布朗运动的适当的物理模型已经显明，剩下的问题是需要作出定量的理论描述了。
以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>0的位移的横坐标（同样也可设纵坐标）且设W(0) =0。根据爱因斯1905年提出的理论，微粒的这种运动是由于受到大量随机的，相互独立的分子碰撞的结果。于是，粒子在时段(s，t]（与相继两次碰撞的时间间隔相比是很大的量）上的位移可看作是许多微小位移的代数和，则W(t)-W(s)服从正态分布。
显然，依中心极限定理，假定位移W(t)-W(s)为正态分布是合理的。其次，由于粒子的运动完全是由液体分子的碰撞而引起的。这样，在不相互重叠的时间间隔内，碰撞的次数、大小和方向可假定是相互独立的，这就是说位移W(t)具有独立的增量。另外，液面处于平衡以态，这时粒子在一时段上位移的概率分布可以认为只依赖于这时段的长度，而与观察的起始时刻无关，即W(t)具有平稳增量。
详细分析过程见下面附件
附件：人工智能在研究生《随机过程》课程教学中的应用与实践.pdf